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雨星的博客

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什么是西塔潘猜想?  

2012-03-21 14:32:31|  分类: 知识 |  标签: |举报 |字号 订阅

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用文字来表述就是“要找这样一个最小的数n,使得n个人中必定有k个人相识或一个人互不相识”。拉姆齐二染色定理的通俗版本被称为“友谊定理”,即在一群不少于3人的人中,若任何两人都刚好只有一个共同认识的人,这群人中总有一人是所有人都认识的。

  在反推数学中,研究的其实是二阶算术的各个子系统以及它们的强度关系,而最重要的是被称为 Big Five的五个子系统 RCA 0 , WKL 0 , ACA 0 (后面两个与本猜想无关,故不列出)。其中 WKL 0 是基本系统 RCA 0 添加弱柯尼希定理的系统,而 RCA 0 添加拉姆齐二染色定理的系统被称为 RT2 2 (不在Big Five,类似还有 RT3 2 ,在此不表)。经过若干数学家的研究,他们发现了一些子系统间存在强弱的比较关系:和 RT2 2 形式接近的 RT3 2 比 ACA 0 要强(其实一样),而 RT2 2 则不比 ACA 0强,( ACA 0 比 WKL 0 强是基本的)等等[1],从这些结果,他们隐约认为 RT22 和 WKL 0 的强度是可以比较的,1995年英国数理逻辑学家西塔潘在一篇论文[2]中发现WKL_0并不强于 RT2 2 ,于是他猜测可能 RT2 2 要强于 WKL 0。
  这一猜想引发了大量研究,困扰了许多数学家十多年之久,直到刘嘉忆的出现,他证明了 RT2 2并不包含 WKL 0 ,从而给该猜想一个否定的回答。

 

反推数学
  反推数学是数理逻辑的一个小分支。在上世纪80、90年代,反推数学还比较活跃。 上一个十年中,有些衰落。目前,又有了一点生气。现在,全球研究人员估计超过二十人。国内南京大学对反推数学有研究。
  反推数学大致是这样的:通常的数学大致是从公理到定理的研究,而反推数学则是从定理(陈述)到公理的研究,二者正好方向相反。
  举一个可能有些不恰当的例子,如果知道 X = 3 这一条件,那么我们可以推出 X^2 = 9 ,这就是通常的数学。但是如果我们知道 X^2 = 9 而要问什么条件可以保证这个结论成立的话,那么选择可就多了,X = 3 可以,X = -3 可以,X + 1 = 4,X - 1 = 2等等也都可以,不过我们或许会特别注意 | X | = 3 ,因为感觉这样“不多也不少”,而其余的则感觉有所遗漏。容易发现 X = 3 和 X^2= 9 这两个陈述的蕴意是有所差别的,当然这也是有语境的,我们自然认定是在全体整数或者实数的范围中考虑的,如果我们是在正数的范围中考虑,那么那两个陈述的蕴意则恰好相当,没有差别。
  这个例子很简单,因为其中的陈述看起来很简单,它们的蕴意比较起来很容易。如果我们的陈述是实数的确界定理和闭区间套定理,那么要判断这两个陈述的蕴意就要麻烦一些,对于可能更复杂的两个陈述,判断起来则更不容易。可以说,反推数学就是要探讨(在一个基本体系中)一个陈述的精确蕴意(专业的词汇是证明论强度),既不能多一点也不能少一点。为求精确,最好还是用一些符号:存在一个基本体系 S 以及一个陈述 T (它不能被 S 所证),目标是要在 S 上添加适当的公理(也有可能是一些规则),使得新的体系S’恰好能证出T,“恰好”体现为一则 S’ 要能证出 T ,二则同时 S 和 T 本身就蕴含 S’。

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